动态规划：经典例题汇总

在计算机科学中，动态规划是一种非常重要的算法思想，用于解决优化问题。它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解，避免了重复计算，提高了解决问题的效率。以下是几个经典的动态规划例题及其解答思路和代码实现。
题目1：斐波那契数列
斐波那契数列是一个经典的动态规划问题。给定一个非负整数n，要求找出斐波那契数列的第n项。
解答思路：
动态规划可以通过保存已经计算过的子问题的解来避免重复计算。在斐波那契数列中，我们可以使用一个数组dp来保存已经计算过的子问题的解。具体来说，dp[i]表示斐波那契数列的第i项。根据斐波那契数列的定义，第i项是第i-1项和第i-2项的和。因此，我们可以得到状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
代码实现：

def fibonacci(n):
dp = [0, 1] + [0] * (n - 1)
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
return dp[n]

题目2：最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）是另一个经典的动态规划问题。给定两个序列X和Y，要求找出它们的最长公共子序列。
解答思路：
动态规划可以用于解决最长公共子序列问题。我们可以使用一个二维数组dp来保存已经计算过的子问题的解。具体来说，dp[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。如果X的第i个字符和Y的第j个字符相同，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。最终的答案就是dp[m][n]，其中m和n分别是X和Y的长度。
代码实现：

def lcs(X, Y):
m, n = len(X), len(Y)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if X[i - 1] == Y[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
return dp[m][n]

题目3：背包问题
背包问题是一个经典的动态规划问题。给定一个容量为W的背包和一组物品，每个物品有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，使得背包中物品的总价值最大。
解答思路：
动态规划可以用于解决0-1背包问题。我们可以使用一个二维数组dp来保存已经计算过的子问题的解。具体来说，dp[i][j]表示在前i个物品中选，总重量不超过j的条件下，可以获得的最大价值。我们可以根据物品的价值和重量来更新dp数组的值。最终的答案就是dp[n][W]，其中n是物品的数量，W是背包的容量。
代码实现：
```python
def knapsack(W, wt, val, n):
dp = [[0 for in range(W + 1)] for in range(n + 1)]
for i in range(n + 1):
for w in range(W + 1):
if i == 0 or w == 0:
dp[i][w] = 0
elif wt[i - 1] <= w:
dp[i][w] = max(val[i - 1] + dp[i - 1][w - wt[i - 1]], dp[i -