简介：Stable Diffusion 原理介绍与源码分析（二、DDPM、DDIM、PLMS算法分析）
在上一篇文章中，我们介绍了稳定扩散（Stable Diffusion）的基本原理，以及如何应用它来模拟隐马尔可夫模型（HMM）的时间演化。本篇文章将深入探讨几种重要的稳定扩散模型及其对应的算法分析，包括DDPM（Diffusion Stochastic Gradient Descent）、DDIM（Delayed Diffusion Importance Sampling）和PLMS（Particle Learning and Movement Algorithm for Stable Diffusion）。
DDPM是一种基于扩散过程的随机梯度下降（SGD）算法，旨在解决深度学习中的优化问题。它通过将梯度下降过程与扩散过程相结合，实现了在数据分布式存储和计算资源有限的条件下，模型参数的有效更新和优化。
在DDPM中，我们首先将目标函数进行泰勒级数展开，并只保留到一阶导数项：f(x) ≈ f(x_0) + df/dx(x_0)(x-x_0)。然后，我们通过扩散过程逐步更新x的值，以达到优化目标函数的目的。具体地，我们将x的更新过程视为一个扩散过程，即dx/dt = -γ(x - x_0) + ξ(t)，其中γ为扩散系数，ξ(t)为高斯白噪声。根据此扩散过程，我们可以得到x(t) = x_0 - γt(x_0 - x_*) + ∫ ξ(s) ds，其中x*为优化目标。
在训练过程中，我们通过不断调整扩散系数γ和步长，以找到最佳的模型参数更新方式。DDPM算法的源代码实现较为复杂，需要针对具体的模型和数据进行调整和优化。
DDIM是一种基于延迟扩散重要采样（Delayed Diffusion Importance Sampling）的算法，主要用于解决蒙特卡罗模拟中的数值不稳定性问题。它通过引入延迟扩散过程，对重要性采样进行改进，从而提高模拟精度和稳定性。
在DDIM中，我们首先将扩散过程分为两个阶段：预扩散阶段和主扩散阶段。在预扩散阶段，我们逐步增加粒子（样本）的数量，并使用低浓度的粒子近似表示目标分布。在主扩散阶段，我们使用高浓度的粒子近似表示目标分布，并通过逐步增加粒子的权重，使得粒子的分布更接近目标分布。
具体地，假设目标分布为p(x)，初始粒子权重为w_0(x)，经过预扩散阶段后，粒子权重变为w_1(x)。在主扩散阶段，粒子权重的变化遵循以下公式：w_t(x) = (1/Z_t) w_{t-1}(x) exp(-βD(x))，其中Z_t为规范化常数，β为扩散系数，D(x)为距离度量函数（如平方势函数）。根据此公式，我们可以逐步更新粒子的权重，并通过重采样（resampling）过程保持粒子的多样性。
PLMS是一种用于稳定扩散模型的粒子学习与运动算法，主要解决了一维稳定扩散方程的数值求解问题。它通过将时间离散化并将空间连续化，从而得到更加准确的粒子轨迹和目标分布的近似表示。
在PLMS中，我们首先将时间离散化，并设定每一步的时间步长为Δt。然后