熵权法计算权重：理论和实践

一、熵权法的基本原理
熵权法是一种基于信息论的客观赋权方法，通过计算各指标的熵值来确定其权重。熵用于度量不确定性，指标的离散程度越大（不确定性越大）则熵值越大，表明指标值提供的信息量越多，则该指标的权重也应越大。与主观赋权法相比，熵权法客观反映数据本身的离散程度，减少主观因素的影响。
二、熵权法的计算步骤

1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，消除量纲和数量级的影响。常用的标准化方法包括最小-最大标准化和Z-score标准化。
2. 计算指标的熵值：根据标准化后的数据，计算每个指标的熵值。熵值的计算公式为
   Ej=-K∑PijlnPij
   其中，Pij表示第i个样本第j个指标的归一化值，K为常数（一般取1/lnm），m为样本数量。
3. 计算指标的权重：根据熵值的大小，计算每个指标的权重。权重计算公式为
   Wj=1-Ej∑1-Ek
   其中，Wj表示第j个指标的权重，Ej表示第j个指标的熵值，k表示指标个数。
4. 确定综合评价模型：根据权重和标准化后的数据，确定综合评价模型。综合评价模型的一般形式为
   F=∑Wj×Pij
   其中，F表示综合评价值，Wj表示第j个指标的权重，Pij表示第i个样本第j个指标的归一化值。
   三、实际应用案例
   以一个多属性决策问题为例，采用熵权法对各属性的权重进行计算。假设有5个样本，每个样本有3个属性（A、B、C），数据如下：
   | 样本 | A | B | C |
   | —- | —- | —- | —- |
   | 1 | 10 | 8 | 6 |
   | 2 | 8 | 10 | 8 |
   | 3 | 6 | 6 | 10 |
   | 4 | 8 | 8 | 8 |
   | 5 | 10 | 6 | 8 |
5. 对数据进行标准化处理：
   | 样本 | A | B | C |
   | —- | —- | —- | —- |
   | 1 | 0.2 | 0.267 | 0.133 |
   | 2 | 0.267 | 0.333 | 0.267 |
   | 3 | 0.133 | 0.133 | 0.333 |
   | 4 | 0.267 | 0.267 | 0.267 |
   | 5 | 0.333 | 0.133 | 0.267 |
6. 计算各属性的熵值：
   Ej分别为：0.881、0.905、0.933
7. 根据熵值计算各属性的权重：
   Wj分别为：0.444、0.429、0.495
8. 根据权重和标准化后的数据，计算综合评价值：
   F=0.444×(0.2+0.267+0.133+0.267+0.333)+0.429×(0.267+0.333+0.133+0.267+0.133)+0.495×(0.133+0.133+0.333+0.267+0.267)
   F=2.498
   通过以上步骤，我们可以得到各属性的权重分别为0.444、0.429、0.495，综合评价值为2.49